誰(shuí)知道B-S期權(quán)定價(jià)模型的介紹？.期權(quán)定價(jià)模型基于對(duì)沖證券組合的思想。投資者可建立期權(quán)與其標(biāo)的股票的組合來(lái)保證確定報(bào)酬。在均衡時(shí)，此確定報(bào)酬必須得到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。期權(quán)的這一定價(jià)思想與無(wú)套利定價(jià)的思想是一致的。所謂無(wú)套利定價(jià)就是說(shuō)任何零投入的投資只能得到零回報(bào)，任何非零投入的投資，只能得到與該項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)所對(duì)應(yīng)的平均回報(bào)，而不能獲得超額回報(bào)（超過(guò)與風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)?shù)膱?bào)酬的利潤(rùn)）。從Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的推導(dǎo)中，不難看出期權(quán)定價(jià)本質(zhì)上就是無(wú)套利定價(jià)。
B-S期權(quán)定價(jià)模型(以下簡(jiǎn)稱(chēng)B-S模型)及其假設(shè)條件1、金融資產(chǎn)收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；
2、在期權(quán)有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和金融資產(chǎn)收益變量是恒定的；
3、市場(chǎng)無(wú)摩擦，即不存在稅收和交易成本；
4、金融資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)無(wú)紅利及其它所得(該假設(shè)后被放棄)；
5、該期權(quán)是歐式期權(quán)，即在期權(quán)到期前不可實(shí)施。C=S·N(D1)-L·(E^(-γT))*N(D2)
其中:
D1=(Ln(S/L)+(γ+(σ^2)/2)*T)/(σ*T^(1/2))
D2=D1-σ*T^(1/2)
C—期權(quán)初始合理價(jià)格
L—期權(quán)交割價(jià)格
S—所交易金融資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)
T—期權(quán)有效期
γ—連續(xù)復(fù)利計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率H
σ2—年度化方差
N()—正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)，在此應(yīng)當(dāng)說(shuō)明兩點(diǎn)：
第一，該模型中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率必須是連續(xù)復(fù)利形式。一個(gè)簡(jiǎn)單的或不連續(xù)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率(設(shè)為γ0)一般是一年復(fù)利一次，而γ要求利率連續(xù)復(fù)利。γ0必須轉(zhuǎn)化為r方能代入上式計(jì)算。兩者換算關(guān)系為:γ=LN(1+γ0)或γ0=Eγ-1。例如γ0=0.06，則γ=LN(1+0.06)=0583，即100以583%的連續(xù)復(fù)利投資第二年將獲106，該結(jié)果與直接用γ0=0.06計(jì)算的答案一致。
第二，期權(quán)有效期T的相對(duì)數(shù)表示，即期權(quán)有效天數(shù)與一年365天的比值。如果期權(quán)有效期為100天，則T=100/365=0.274。(一)B-S模型的推導(dǎo)B-S模型的推導(dǎo)是由看漲期權(quán)入手的，對(duì)于一項(xiàng)看漲期權(quán)，其到期的期值是:E[G]=E[max(ST-L，O)]
其中，E[G]—看漲期權(quán)到期期望值ST—到期所交易金融資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)值
L—期權(quán)交割(實(shí)施)價(jià)
到期有兩種可能情況:1、如果STL，則期權(quán)實(shí)施以進(jìn)帳(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L
2、如果ST<>
max(ST-L，O)=0
從而:E[CT]=P×(E[ST|STL)+(1-P)×O=P×(E[ST|STL]-L)
其中:P—(STL)的概率E[ST|STL]—既定(STL)下ST的期望值將E[G]按有效期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利rT貼現(xiàn)，得期權(quán)初始合理價(jià)格:C=P×E-rT×(E[ST|STL]-L)(*)這樣期權(quán)定價(jià)轉(zhuǎn)化為確定P和E[ST|STL]。
首先，
對(duì)收益進(jìn)行定義。與利率一致，收益為金融資產(chǎn)期權(quán)交割日市場(chǎng)價(jià)格(ST)與現(xiàn)價(jià)(S)比值的對(duì)數(shù)值，即收益=1NSTS。由假設(shè)1收益服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以證明，相對(duì)價(jià)格期望值大于EμT，為:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT從而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT其次，求(STL)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正態(tài)分布有性質(zhì):Pr06[ζχ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正態(tài)分布隨機(jī)變量χ—關(guān)鍵值μ—ζ的期望值σ—ζ的標(biāo)準(zhǔn)差所以:P=Pr06[ST1]=Pr06[1NSTS]1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由對(duì)稱(chēng)性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定STL下ST的期望值。因?yàn)镋[ST|ST]L]處于正態(tài)分布的L到∞范圍，所以，E[ST|ST]=SEγTN(D1)N(D2)
其中:
D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT最后，
將P、E[ST|ST]L]代入(*)式整理得B-S定價(jià)模型:C=SN(D1)-LE-γTN(D2)(二)B-S模型應(yīng)用實(shí)例假設(shè)市場(chǎng)上某股票現(xiàn)價(jià)S為　164，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利利率γ是0.0521，市場(chǎng)方差σ2為0.0841，那么實(shí)施價(jià)格L是165，有效期T為0.0959的期權(quán)初始合理價(jià)格計(jì)算步驟如下:
①求D1:D1=(1N164165+(0.052)+0.08412)×0.09590.29×0.0959=0.0328
②求D2:D2=0.0328-0.29×0.0959=-0.570
③查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表，得:N(0.03)=0.5120　N(-0.06)=0.4761
④求C:C=164×0.5120-165×E-0.0521×0.0959×0.4761=5.803
因此理論上該期權(quán)的合理價(jià)格是5.803。如果該期權(quán)市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格是5.75，那么這意味著該期權(quán)有所低估。在沒(méi)有交易成本的條件下，購(gòu)買(mǎi)該看漲期權(quán)有利可圖。
(三)看跌期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo)B-S模型是看漲期權(quán)的定價(jià)公式。
根據(jù)售出—購(gòu)進(jìn)平價(jià)理論(Put-callparity)可以推導(dǎo)出有效期權(quán)的定價(jià)模型，由售出—購(gòu)進(jìn)平價(jià)理論，購(gòu)買(mǎi)某股票和該股票看跌期權(quán)的組合與購(gòu)買(mǎi)該股票同等條件下的看漲期權(quán)和以期權(quán)交割價(jià)為面值的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)折扣發(fā)行債券具有同等價(jià)值，以公式表示為:
S+PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T
移項(xiàng)得:PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T-S，將B-S模型代入整理得:P=LE-γT[1-N(D2)]-S[1-N(D1)]此即為看跌期權(quán)初始價(jià)格定價(jià)模型。B-S模型只解決了不分紅股票的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，默頓發(fā)展了B-S模型，使其亦運(yùn)用于支付紅利的股票期權(quán)。(一)存在已知的不連續(xù)紅利假設(shè)某股票在期權(quán)有效期內(nèi)某時(shí)間T(即除息日)支付已知紅利DT，只需將該紅利現(xiàn)值從股票現(xiàn)價(jià)S中除去，將調(diào)整后的股票價(jià)值S′代入B-S模型中即可:S′=S-DTE-rT。如果在有效期內(nèi)存在其它所得，依該法一一減去。從而將B-S模型變型得新公式:
C=(S-E-γTN(D1)-LE-γTN(D2)
(二)存在連續(xù)紅利支付是指某股票以一已知分紅率(設(shè)為δ)支付不間斷連續(xù)紅利，假如某公司股票年分紅率δ為0.04，該股票現(xiàn)值為164，從而該年可望得紅利164×004=　6.56。值得注意的是，該紅利并非分4季支付每季164；事實(shí)上，它是隨美元的極小單位連續(xù)不斷的再投資而自然增長(zhǎng)的，一年累積成為6.56。因?yàn)楣蓛r(jià)在全年是不斷波動(dòng)的，實(shí)際紅利也是變化的，但分紅率是固定的。因此，該模型并不要求紅利已知或固定，它只要求紅利按股票價(jià)格的支付比例固定。
在此紅利現(xiàn)值為:S(1-E-δT)，所以S′=SE-δT，以S′代S，得存在連續(xù)紅利支付的期權(quán)定價(jià)公式:C=SE-δTN(D1)-LE-γTN(D2)自B-S模型1973年首次在政治經(jīng)濟(jì)雜志(JournalofpoLiticalEconomy)發(fā)表之后，芝加哥期權(quán)交易所的交易商們馬上意識(shí)到它的重要性，很快將B-S模型程序化輸入計(jì)算機(jī)應(yīng)用于剛剛營(yíng)業(yè)的芝加哥期權(quán)交易所。該公式的應(yīng)用隨著計(jì)算機(jī)、通訊技術(shù)的進(jìn)步而擴(kuò)展。到今天，該模型以及它的一些變形已被期權(quán)交易商、投資銀行、金融管理者、保險(xiǎn)人等廣泛使用。衍生工具的擴(kuò)展使國(guó)際金融市場(chǎng)更富有效率，但也促使全球市場(chǎng)更加易變。新的技術(shù)和新的金融工具的創(chuàng)造加強(qiáng)了市場(chǎng)與市場(chǎng)參與者的相互依賴(lài)，不僅限于一國(guó)之內(nèi)還涉及他國(guó)甚至多國(guó)。結(jié)果是一個(gè)市場(chǎng)或一個(gè)國(guó)家的波動(dòng)或金融危機(jī)極有可能迅速的傳導(dǎo)到其它國(guó)家乃至整個(gè)世界經(jīng)濟(jì)之中。中國(guó)金融體制不健全、資本市場(chǎng)不完善，但是隨著改革的深入和向國(guó)際化靠攏，資本市場(chǎng)將不斷發(fā)展，匯兌制度日漸完善，企業(yè)也將擁有更多的自主權(quán)從而面臨更大的風(fēng)險(xiǎn)。因此，對(duì)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的金融衍生市場(chǎng)的培育是必需的，對(duì)衍生市場(chǎng)進(jìn)行探索也是必要的，人們才剛剛起步。
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