什么是非參數(shù)統(tǒng)計(jì)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支。如果在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中，其總體分布不能用有限個(gè)實(shí)參數(shù)來(lái)刻畫(huà)，只能對(duì)它作一些諸如分布連續(xù)、有密度、具有某階矩等一般性的假定，則稱之為非參數(shù)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。 舉例說(shuō)明

例如，檢驗(yàn)“兩個(gè)總體有相同分布”這個(gè)假設(shè)，若假定兩總體的分布分別為正態(tài)分布N（μ1，σ2）和N（μ2，σ2），則問(wèn)題只涉及三個(gè)實(shí)參數(shù)μ1，μ2，σ2，這是參數(shù)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。若只假定兩總體的分布為連續(xù)，此外一無(wú)所知，問(wèn)題涉及的分布不能用有限個(gè)實(shí)參數(shù)刻畫(huà)，則這是非參數(shù)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。又如，估計(jì)總體分布的期望μ，若假定總體分布為正態(tài) N（μ，σ2），則問(wèn)題是參數(shù)性的；若只假定總體分布的期望值存在，則問(wèn)題是非參數(shù)性的。不過(guò)參數(shù)統(tǒng)計(jì)與非參數(shù)統(tǒng)計(jì)之間并沒(méi)有涇渭分明的界線。

例外

有的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，從不同的角度，可以理解為參數(shù)性的，也可以理解為非參數(shù)性的。例如線性回歸（見(jiàn)回歸分析）問(wèn)題，若關(guān)心的是估計(jì)回歸系數(shù)，它只是有限個(gè)實(shí)參數(shù)，因而可以看成是參數(shù)性的。但是，如果對(duì)隨機(jī)誤差的分布類型沒(méi)有作任何假定，則從問(wèn)題的總體分布這個(gè)角度看，也可以看成是非參數(shù)性的。

統(tǒng)計(jì)方法

重要的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法秩方法是基于秩統(tǒng)計(jì)量（見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量）的一類重要的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法。設(shè)有樣本X1,X2，…，Xn，把它們由小到大排列，若Xi在這個(gè)次序中占第Ri個(gè)位置（最小的占第1個(gè)位置），則稱Xi的秩為Ri(i=1,2，…，n）。1945年F.威爾科克森提出的 兩樣本秩和檢驗(yàn) 是一個(gè)有代表性的例子。設(shè)X1,X2，…，Xm和Y1,Y2，…，Yn分別是從分布為 F(x）和 F(x-θ）的總體中抽出的樣本，F(xiàn)連續(xù)但未知，θ也未知，檢驗(yàn)假設(shè) H：θ=0，備擇假設(shè)為θ 0（見(jiàn)假設(shè)檢驗(yàn)）。記Yi在混合樣本（X1,X2，…，Xm，Y1，Y2，…，Yn）中的秩為Ri，且為諸秩的和，當(dāng)W C時(shí)，否定假設(shè)H，這里C決定于檢驗(yàn)的水平。這是一個(gè)性能良好的檢驗(yàn)。秩方法的一個(gè)早期結(jié)果是C.斯皮爾曼于1904年提出的秩相關(guān)系數(shù)。設(shè)（X1，Y1),(X2，Y2），…，（Xn,Yn）是從二維總體（X，Y）中抽出的樣本，Ri為Xi在（X1,X2，…，Xn）中的秩，Qi為Yi在（Y1,Y2，…，Yn）中的秩，定義秩相關(guān)系數(shù)為（Ri,Qi)(i=1,2，…n）的通常的相關(guān)系數(shù)（見(jiàn)相關(guān)分析）。它可以作為X、Y之間相關(guān)程度的度量，也可用于檢驗(yàn)關(guān)于X、Y獨(dú)立性的假設(shè)。

次序統(tǒng)計(jì)量和U 統(tǒng)計(jì)量在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中也有重要應(yīng)用。前者可用于估計(jì)總體分布的分位數(shù)（見(jiàn)概率分布）、檢驗(yàn)兩總體有相同的分布及構(gòu)造連續(xù)總體分布的容忍限和容忍區(qū)間（見(jiàn)區(qū)間估計(jì)）等。后者主要用于構(gòu)造總體分布的數(shù)字特征的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)（見(jiàn)點(diǎn)估計(jì)）及基于這種估計(jì)的假設(shè)檢驗(yàn)。

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Α.Η.柯?tīng)柲缏宸蚝挺?И.斯米爾諾夫在20世紀(jì)30年代的工作開(kāi)辟了非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的一個(gè)方面，他們的方法基于樣本X1,X2，…，Xn的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x）（見(jiàn)樣本）。柯?tīng)柲缏宸蚩疾? Fn(x）與理論分布F(x）的最大偏差墹n，當(dāng)墹n超過(guò)一定限度時(shí)，否定這個(gè)理論分布F(x）。這就是柯?tīng)柲缏宸驒z驗(yàn)。斯米爾諾夫則考察由兩個(gè)分布為F(x）和g(x）的總體中抽出的樣本X1，X2，…，Xm和Y1,Y2，…，Yn計(jì)算其經(jīng)驗(yàn)分布Fm(x）和gn(x）的最大偏差墹mn，當(dāng)墹mn超過(guò)一定限度時(shí)，否定“F與g相等”這個(gè)假設(shè)。這就是斯米爾諾夫檢驗(yàn)。

在非參數(shù)性估計(jì)方面，有關(guān)于估計(jì)分布的對(duì)稱中心、概率密度函數(shù)和回歸函數(shù)等比較重要的成果。

基本特點(diǎn)

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn) 非參數(shù)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中對(duì)總體分布的假定要求的條件很寬，因而針對(duì)這種問(wèn)題而構(gòu)造的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，不致因?yàn)閷?duì)總體分布的假定不當(dāng)而導(dǎo)致重大錯(cuò)誤，所以它往往有較好的穩(wěn)健性（見(jiàn)穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)），這是一個(gè)重要特點(diǎn)。但因?yàn)榉菂?shù)統(tǒng)計(jì)方法需要照顧范圍很廣的分布，在某些情況下會(huì)導(dǎo)致其效率的降低。不過(guò)，近代理論證明了：一些重要的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，當(dāng)與相應(yīng)的參數(shù)方法比較時(shí)，即使在最有利于后者的情況下，效率上的損失也很小。

由于非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中對(duì)分布假定要求的條件寬，因而大樣本理論（見(jiàn)大樣本統(tǒng)計(jì)）占據(jù)了主導(dǎo)地位。第二次世界大戰(zhàn)前，非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的大樣本理論已有了一些結(jié)果，從20世紀(jì)50年代直到現(xiàn)代，更有了顯著的進(jìn)展，尤其是關(guān)于秩統(tǒng)計(jì)量與U 統(tǒng)計(jì)量的大樣本理論，及基于這種理論的大樣本非參數(shù)方法，研究成果很多。

適用范圍

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)最常用于具備下述特征的情況：

1、待分析數(shù)據(jù)不滿足參數(shù)檢驗(yàn)所要求的假定，因而無(wú)法應(yīng)用參數(shù)檢驗(yàn)。例如，我們?cè)龅竭^(guò)的非正態(tài)總體小樣本，在t-檢驗(yàn)法也不適用時(shí)，作為替代方法，就可以采用非參數(shù)檢驗(yàn)。

2、僅由一些等級(jí)構(gòu)成的數(shù)據(jù)，不能應(yīng)用參數(shù)檢驗(yàn)。例如，消費(fèi)者可能被問(wèn)及對(duì)幾種不同商標(biāo)的飲料的喜歡程度，雖然，他們不能對(duì)每種商標(biāo)都指定一個(gè)數(shù)字來(lái)表示他們對(duì)該商標(biāo)的喜歡程度，卻能將幾種商標(biāo)按喜歡的順序分成等級(jí)。這種情形也宜采用非參數(shù)檢驗(yàn)。

3、所提的問(wèn)題中并不包含參數(shù)，也不能用參數(shù)檢驗(yàn)。例如，我們想判斷一個(gè)樣本是否為隨機(jī)樣本，采用非參數(shù)檢驗(yàn)法就是適當(dāng)?shù)摹?

4、當(dāng)我們需要迅速得出結(jié)果時(shí)，也可以不用參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法而用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法來(lái)達(dá)到目的。一般說(shuō)來(lái)，非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法所要求的計(jì)算與參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法相比，完成起來(lái)既快且易。有些非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法的計(jì)算，就算對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)不熟練的人，也能在收集數(shù)據(jù)時(shí)及時(shí)予以完成。

相對(duì)優(yōu)點(diǎn)

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)與傳統(tǒng)的參數(shù)統(tǒng)計(jì)相比，有以下優(yōu)點(diǎn)：

1、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法要求的假定條件比較少，因而它的適用范圍比較廣泛。

2、多數(shù)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法要求的運(yùn)算比較簡(jiǎn)單，可以迅速完成計(jì)算取得結(jié)果，因而比較節(jié)約時(shí)間。

3、大多數(shù)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法在直觀上比較容易理解，不需要太多的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)。

4、大多數(shù)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法可用來(lái)分析如象由等級(jí)構(gòu)成的數(shù)據(jù)資料，而對(duì)計(jì)量水準(zhǔn)較低的數(shù)據(jù)資料，參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法卻不適用。

5、當(dāng)推論多達(dá)3個(gè)以上時(shí)，非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法尤具優(yōu)越性。

相對(duì)缺點(diǎn)

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法也有以下缺點(diǎn)：

1、由于方法簡(jiǎn)單，用的計(jì)量水準(zhǔn)較低，因此，如果能與參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法同時(shí)使用時(shí)，就不如參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法敏感。若為追求簡(jiǎn)單而使用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，其檢驗(yàn)功效就要差些。這就是說(shuō)，在給定的顯著性水平下進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法與參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法相比，第Ⅱ類錯(cuò)誤的概率β要大些。

2、對(duì)于大樣本，如不采用適當(dāng)?shù)慕疲?jì)算可能變得十分復(fù)雜。

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